پاسخ فعالیت صفحه 34 ریاضی دوازدهم تجربی

حل تمرین 1 صفحه 34 ریاضی دوازدهم این تمرین به بررسی تأثیر ضریب $b$ بر روی **دوره تناوب** تابع $y = \sin bx$ می‌پردازد. ضریب $b$ باعث فشردگی یا کشیدگی **افقی** نمودار می‌شود. از آنجا که تغییر در ضریب $x$ در داخل $\sin$ رخ می‌دهد (یعنی $b$ روی $x$ تأثیر می‌گذارد)، مقادیر $y$ (ماکزیمم و مینیمم) تغییری نمی‌کنند و همانند $y = \sin x$، $\mathbf{1}$ و $\mathbf{-1}$ باقی می‌مانند. دوره تناوب با رابطه $T = \frac{2\pi}{|b|}$ تغییر می‌کند. | تابع | نمودار تابع | ماکزیمم | مینیمم | دوره تناوب (T) | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $y = \sin x$ (آبی) | | $1$ | $-1$ | $2\pi$ | | $\mathbf{y = \sin 2x}$ (صورتی) | | $1$ | $-1$ | $\frac{2\pi}{|2|} = \mathbf{\pi}$ | | $\mathbf{y = \sin (-2x)}$ (سبز) | | $1$ | $-1$ | $\frac{2\pi}{|-2|} = \mathbf{\pi}$ | | $\mathbf{y = \sin (x/2)}$ (نارنجی) | | $1$ | $-1$ | $\frac{2\pi}{|1/2|} = \mathbf{4\pi}$ | | $\mathbf{y = \sin (-x/2)}$ (بنفش) | | $1$ | $-1$ | $\frac{2\pi}{|-1/2|} = \mathbf{4\pi}$ | **توجه:** در نمودارها، اگرچه نمودارها تا $[3\pi]$ ادامه دارند، اما تعداد دفعات تکرار سیکل‌ها در طول یک بازه مشخص، تغییر دوره تناوب را نشان می‌دهد. * در $y = \sin x$ (آبی)، دو سیکل در بازه $[-\pi, \pi]$ تا $[\pi, 3\pi]$ وجود دارد. * در $y = \sin 2x$ (صورتی)، چهار سیکل در بازه $[-\pi, 3\pi]$ وجود دارد که نشان‌دهنده $T=\pi$ است.

حل تمرین 2 صفحه 34 ریاضی دوازدهم همانطور که در جدول بالا مشاهده شد، با تغییر ضریب $b$ در تابع $\mathbf{y = \sin bx}$: 1. **مقادیر ماکزیمم و مینیمم:** ضریب $b$ که بر روی متغیر $x$ اثر می‌گذارد، تنها بر روی کشیدگی/فشردگی افقی نمودار تأثیر دارد و **مقادیر عمودی** (برد) را تغییر نمی‌دهد. $$\mathbf{\text{مقدار ماکزیمم: } 1}$$ $$\mathbf{\text{مقدار مینیمم: } -1}$$ 2. **دوره تناوب ($T$):** ضریب $b$ باعث تغییر دوره تناوب می‌شود. اگر $|b| > 1$ باشد، دوره تناوب کاهش می‌یابد (فشردگی افقی) و اگر $|b| < 1$ باشد، دوره تناوب افزایش می‌یابد (کشیدگی افقی). $$\mathbf{\text{دوره تناوب: } T = \frac{2\pi}{|b|}}$$ **نکته:** اگر $b$ منفی باشد (مانند $y = \sin(-2x)$)، چون تابع $\sin$ فرد است، $\sin(-2x) = -\sin(2x)$، اما چون دوره تناوب به $|b|$ وابسته است، مقدار دوره تناوب تغییر نمی‌کند.

حل تمرین 3 صفحه 34 ریاضی دوازدهم تابع $\mathbf{y = \sin bx + c}$ از دو تبدیل اصلی بر روی تابع $y = \sin x$ تشکیل شده است: تغییر دوره تناوب ناشی از $b$ و انتقال عمودی ناشی از $c$. ### 1. دوره تناوب ($T$) انتقال عمودی ($+c$) تأثیری بر دوره تناوب ندارد. بنابراین، دوره تناوب تنها توسط ضریب $b$ کنترل می‌شود. $$\mathbf{\text{دوره تناوب: } T = \frac{2\pi}{|b|}}$$ ### 2. مقادیر ماکزیمم و مینیمم ضریب $b$ تأثیری بر مقادیر ماکزیمم و مینیمم ندارد. اما انتقال عمودی $c$، کل نمودار را جابجا می‌کند و بنابراین مقادیر حدی را تغییر می‌دهد. * **مقدار ماکزیمم:** $1 + c$ $$\mathbf{y_{max} = 1 + c}$$ * **مقدار مینیمم:** $-1 + c$ $$\mathbf{y_{min} = -1 + c}$$ **نتیجه‌گیری کلی:** ضریب $b$ دوره تناوب را تغییر می‌دهد، در حالی که ضریب $c$ مقادیر ماکزیمم و مینیمم را جابجا می‌کند. همین قواعد برای تابع $\mathbf{y = \cos bx + c}$ نیز برقرار است.